Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $3$ est la matrice carrée $3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{3}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 + 0 & - 36 + 0 \\ 0 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 + 0 \\ 0 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 36$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $- 36$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 \\ - 36 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

Étape 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} | + (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) ((- 2 - λ) (- 23 - λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Étape 5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Développez $(- 2 - λ) (- 23 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (- 2 (- 23 - λ) - λ (- 23 - λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Étape 5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (- 2 \cdot - 23 - 2 (- λ) - λ (- 23 - λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Étape 5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (- 2 \cdot - 23 - 2 (- λ) - λ \cdot - 23 - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 23$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 - 2 (- λ) - λ \cdot - 23 - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ - λ \cdot - 23 - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.3

Multipliez $- 23$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ + 1 λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ + λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.2

Additionnez $2 λ$ et $23 λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 25 λ + λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez $- (- 36 \cdot - 36)$ .

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Étape 5.4.2.1.3.1

Multipliez $- 36$ par $- 36$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 25 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1296) + 0$

Étape 5.4.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $1296$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 25 λ + λ^{2} - 1296) + 0$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $1296$ de $46$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (25 λ + λ^{2} - 1250) + 0$

Étape 5.4.2.3

Remettez dans l’ordre $25 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250) + 0$

Étape 5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.1

Associez les termes opposés dans $0 + (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250) + 0$ .

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Étape 5.5.1.1

Additionnez $0$ et $(- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250) + 0$

Étape 5.5.1.2

Additionnez $(- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$ et $0$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$

Étape 5.5.2

Développez $(- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 3 (25 λ) - 3 \cdot - 1250 - λ \cdot λ^{2} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

Étape 5.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1

Multipliez $25$ par $- 3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ - 3 \cdot - 1250 - λ \cdot λ^{2} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

Étape 5.5.3.2

Multipliez $- 3$ par $- 1250$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ \cdot λ^{2} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

Étape 5.5.3.3

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.3.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - (λ^{2} λ) - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

Étape 5.5.3.3.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.5.3.3.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

Étape 5.5.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{2 + 1} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

Étape 5.5.3.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

Étape 5.5.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 1 \cdot 25 λ \cdot λ - λ \cdot - 1250$

Étape 5.5.3.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 1 \cdot 25 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1250$

Étape 5.5.3.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 1 \cdot 25 λ^{2} - λ \cdot - 1250$

Étape 5.5.3.6

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 25 λ^{2} - λ \cdot - 1250$

Étape 5.5.3.7

Multipliez $- 1250$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 25 λ^{2} + 1250 λ$

Étape 5.5.4

Soustrayez $25 λ^{2}$ de $- 3 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 28 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} + 1250 λ$

Étape 5.5.5

Additionnez $- 75 λ$ et $1250 λ$ .

$p (λ) = - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750 - λ^{3}$

Étape 5.5.6

Déplacez $3750$ .

$p (λ) = - 28 λ^{2} + 1175 λ - λ^{3} + 3750$

Étape 5.5.7

Déplacez $1175 λ$ .

$p (λ) = - 28 λ^{2} - λ^{3} + 1175 λ + 3750$

Étape 5.5.8

Remettez dans l’ordre $- 28 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750 = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Factorisez $- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3750, \pm 2, \pm 1875, \pm 3, \pm 1250, \pm 5, \pm 750, \pm 6, \pm 625, \pm 10, \pm 375, \pm 15, \pm 250, \pm 25, \pm 150, \pm 30, \pm 125, \pm 50, \pm 75$

$q = \pm 1$

Étape 7.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3750, \pm 2, \pm 1875, \pm 3, \pm 1250, \pm 5, \pm 750, \pm 6, \pm 625, \pm 10, \pm 375, \pm 15, \pm 250, \pm 25, \pm 150, \pm 30, \pm 125, \pm 50, \pm 75$

Étape 7.1.1.3

Remplacez $- 3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.1.3.1

Remplacez $- 3$ dans le polynôme.

$- {(- 3)}^{3} - 28 {(- 3)}^{2} + 1175 \cdot - 3 + 3750$

Étape 7.1.1.3.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- - 27 - 28 {(- 3)}^{2} + 1175 \cdot - 3 + 3750$

Étape 7.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 27$ .

$27 - 28 {(- 3)}^{2} + 1175 \cdot - 3 + 3750$

Étape 7.1.1.3.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$27 - 28 \cdot 9 + 1175 \cdot - 3 + 3750$

Étape 7.1.1.3.5

Multipliez $- 28$ par $9$ .

$27 - 252 + 1175 \cdot - 3 + 3750$

Étape 7.1.1.3.6

Soustrayez $252$ de $27$ .

$- 225 + 1175 \cdot - 3 + 3750$

Étape 7.1.1.3.7

Multipliez $1175$ par $- 3$ .

$- 225 - 3525 + 3750$

Étape 7.1.1.3.8

Soustrayez $3525$ de $- 225$ .

$- 3750 + 3750$

Étape 7.1.1.3.9

Additionnez $- 3750$ et $3750$ .

$0$

Étape 7.1.1.4

Comme $- 3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $λ + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750}{λ + 3}$

Étape 7.1.1.5

Divisez $- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$ par $λ + 3$ .

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Étape 7.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$1175 λ$

$3750$

Étape 7.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$

Étape 7.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- λ^{3} - 3 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$

Étape 7.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 25 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$

Étape 7.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					-	$25 λ^{2}$	-	$75 λ$

Étape 7.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 25 λ^{2} - 75 λ$

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$

Étape 7.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$

Étape 7.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$

Étape 7.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $1250 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$

Étape 7.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$
							+	$1250 λ$	+	$3750$

Étape 7.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $1250 λ + 3750$

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$
							-	$1250 λ$	-	$3750$

Étape 7.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$
							-	$1250 λ$	-	$3750$
										$0$

Étape 7.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- λ^{2} - 25 λ + 1250$

Étape 7.1.1.6

Écrivez $- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$ comme un ensemble de facteurs.

$(λ + 3) (- λ^{2} - 25 λ + 1250) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 1250 = - 1250$ et dont la somme est $b = - 25$ .

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Étape 7.1.2.1.1.1

Factorisez $- 25$ à partir de $- 25 λ$ .

$(λ + 3) (- λ^{2} - 25 λ + 1250) = 0$

Étape 7.1.2.1.1.2

Réécrivez $- 25$ comme $25$ plus $- 50$

$(λ + 3) (- λ^{2} + (25 - 50) λ + 1250) = 0$

Étape 7.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(λ + 3) (- λ^{2} + 25 λ - 50 λ + 1250) = 0$

Étape 7.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(λ + 3) ((- λ^{2} + 25 λ) - 50 λ + 1250) = 0$

Étape 7.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(λ + 3) (λ (- λ + 25) + 50 (- λ + 25)) = 0$

Étape 7.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- λ + 25$ .

$(λ + 3) ((- λ + 25) (λ + 50)) = 0$

Étape 7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(λ + 3) (- λ + 25) (λ + 50) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ + 3 = 0$

$- λ + 25 = 0$

$λ + 50 = 0$

Étape 7.3

Définissez $λ + 3$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $λ + 3$ égal à $0$ .

$λ + 3 = 0$

Étape 7.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$λ = - 3$

Étape 7.4

Définissez $- λ + 25$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $- λ + 25$ égal à $0$ .

$- λ + 25 = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $- λ + 25 = 0$ pour $λ$ .

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Étape 7.4.2.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$- λ = - 25$

Étape 7.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- λ = - 25$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- λ = - 25$ par $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Étape 7.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Étape 7.4.2.2.2.2

Divisez $λ$ par $1$ .

$λ = \frac{- 25}{- 1}$

Étape 7.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.2.2.3.1

Divisez $- 25$ par $- 1$ .

$λ = 25$

Étape 7.5

Définissez $λ + 50$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $λ + 50$ égal à $0$ .

$λ + 50 = 0$

Étape 7.5.2

Soustrayez $50$ des deux côtés de l’équation.

$λ = - 50$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(λ + 3) (- λ + 25) (λ + 50) = 0$ vraie.

$λ = - 3, 25, - 50$